2. 考研
  3. 设f(χ)在[1，＋∞)上连续，若曲线y＝f(χ)，直线χ＝1，χ＝t(t＞1)与χ轴围成的平面区域绕χ轴旋转一周所得的旋转体的体积为V(t)＝[t2f(t)－f(1)]且f(2)＝，求函数y＝f(χ)的表达式．

设f(χ)在[1，＋∞)上连续，若曲线y＝f(χ)，直线χ＝1，χ＝t(t＞1)与χ轴围成的平面区域绕χ轴旋转一周所得的旋转体的体积为V(t)＝[t2f(t)－f(1)]且f(2)＝，求函数y＝f(χ)的表达式．

admin2014-12-09  75
问题 设f(χ)在[1，＋∞)上连续，若曲线y＝f(χ)，直线χ＝1，χ＝t(t＞1)与χ轴围成的平面区域绕χ轴旋转一周所得的旋转体的体积为V(t)＝[t2f(t)－f(1)]且f(2)＝，求函数y＝f(χ)的表达式．
选项
答案由旋转体的体积公式得 V(t)＝π∫1tf2(u)du， 由已知条件得[*]，即3∫1tf2(u)du＝t2f(t)－f(1)． 等式两边对t求导得 3f2(t)＝2tf(t)＋t2f′(t) 于是有χ2y′＝3y2－2χy，变形得[*]． 令[*]＝u，则有χ[*]＝3u(u－1)，分离变量并两边积分得 [*]＝Cχ3，即y－χ＝Cχ3y 由f(2)[*]得C＝－1，故f(χ)＝[*]．
解析
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考研数学二

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