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[2004年] 设函数f(u)连续,区域D={(x,y)∣x2+y2≤2y),则f(xy)dxdy等于( ).
[2004年] 设函数f(u)连续,区域D={(x,y)∣x2+y2≤2y),则f(xy)dxdy等于( ).
admin
2021-01-19
16
问题
[2004年] 设函数f(u)连续,区域D={(x,y)∣x
2
+y
2
≤2y),则
f(xy)dxdy等于( ).
选项
A、∫
-1
1
dx
f(xy)dy
B、2∫
0
2
dy
f(xy)dy
C、∫
0
π
dθ∫
0
2sinθ
(r
2
sinθcosθ)dr
D、∫
0
π
dθ∫
0
2sinθ
f(r
2
sinθcosθ)rdr
答案
D
解析
将二重积分化为累次积分的方法是首先画出积分区域的示意图(见图1.5.3.1).注意到所给积分区域是以(0,1)为圆心,以1为半径的圆域.首选在极坐标系下化为累次积分确定正确选项.
解一 仅(D)入选.用极坐标变换:x=rcosθ,y=rsinθ,积分区域化为D={(r,θ)∣0≤θ≤π,0≤r≤2sinθ),则
f(xy)dxdy=∫
0
π
dθ∫
0
2sinθ
f(r
2
sinθcosθ)rdr.
解二 在直角坐标系下将所给二重积分化为累次积分,如先x后y积分,因积分区域D={(x,y)∣一
,0≤y≤2},
则
f(xy)dxdy=∫
0
2
dy
f(xy)dx. (B)不对.
如果采用先y后x积分,则
D={(x,y)∣一1≤x≤1,1一
},
f(xy)dxdy=
f(xy)dy. (A)不对.
对于选项(C),显然极坐标系下的面积元素dxdy=rdrdθ≠drdθ,故(C)也不对.仅(D)入选.
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考研数学二
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