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[2004年] 设函数f(u)连续，区域D={(x，y)∣x2+y2≤2y)，则f(xy)dxdy等于( )．

admin2021-01-19  20
问题 [2004年]  设函数f(u)连续，区域D={(x，y)∣x2+y2≤2y)，则f(xy)dxdy等于(    )．
选项 A、∫-11dxf(xy)dy
B、2∫02dyf(xy)dy
C、∫0πdθ∫02sinθ(r2sinθcosθ)dr
D、∫0πdθ∫02sinθf(r2sinθcosθ)rdr
答案D
解析  将二重积分化为累次积分的方法是首先画出积分区域的示意图(见图1．5．3．1)．注意到所给积分区域是以(0，1)为圆心，以1为半径的圆域．首选在极坐标系下化为累次积分确定正确选项．

解一  仅(D)入选．用极坐标变换：x=rcosθ，y=rsinθ，积分区域化为D={(r，θ)∣0≤θ≤π，0≤r≤2sinθ)，则
f(xy)dxdy=∫0πdθ∫02sinθf(r2sinθcosθ)rdr．
解二  在直角坐标系下将所给二重积分化为累次积分，如先x后y积分，因积分区域D={(x，y)∣一，0≤y≤2}，
则 f(xy)dxdy=∫02dyf(xy)dx．  (B)不对．
如果采用先y后x积分，则
D={(x，y)∣一1≤x≤1，1一},
f(xy)dxdy=f(xy)dy．  (A)不对．
对于选项(C)，显然极坐标系下的面积元素dxdy=rdrdθ≠drdθ，故(C)也不对．仅(D)入选．
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考研数学二

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