2. 考研
  3. 已知A是2n+1阶正交矩阵，即AAT=ATA=E，证明：｜E-A2｜=0．

已知A是2n+1阶正交矩阵，即AAT=ATA=E，证明：｜E-A2｜=0．

admin2016-10-20  28
问题 已知A是2n+1阶正交矩阵，即AAT=ATA=E，证明：｜E-A2｜=0．
选项
答案由行列式乘法公式(1．10)，得｜A｜2=｜A｜.｜AT｜=｜AAT｜=｜E｜=1． (Ⅰ)如｜A｜=1，那么 ｜E-A｜=｜AAT-A｜=｜A(AT-ET)｜=｜A｜.｜A-E｜=｜-(E-A)｜ =(-1)2n+1｜E-A｜=-｜E-A｜， 从而｜E-A｜=0． (Ⅱ)如｜A｜=-1，那么可由 ｜E+A｜=｜AAT+A｜=｜A(AT+ET)｜=｜A｜.｜A+E｜=-｜E+A｜， 得到｜E+A｜=0．又因｜E-A2｜=｜(E-A)(E+A)｜=｜E-A｜.｜E+A｜， 所以不论｜A｜是+1或-1，总有｜E-A2｜=0．
解析
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考研数学三

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