设向量组I：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2…，βs线性表示，则

admin2014-01-26 48

问题设向量组I：α₁，α₂，…，α_r可由向量组Ⅱ：β₁，β₂…，β_s线性表示，则

选项 A、当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．
B、当r＞s时，向量组Ⅱ必线性相关．
C、当r＜s时，向量组I必线性相关．
D、当r＞s时，向量组I必线性相关．

答案D

解析 [分析] 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：α₁，α₂，…，α_r，可由向量组Ⅱ：β₁，β₂…，β_s线性表示，则当r＞s时，向量组I必线性相关．或其逆否命题：若向量组I：α₁，α₂…，α_r，可由向量组Ⅱ：β₁，β₂…，β_s线性表示，且向量组I线性无关，则必有r≤s．可见正确选项为(D)．本题也可通过举反例用排除法找到答案．
[详解] 用排除法：如

，则α₁＝0.β₁＋0.β₂，但β₁，β₂线性无关，排除(A)；

，则α₁，α₂可由β₁线性表示，但β₁线性无关，排除(B)；

，α₁可由β₁，β₂线性表示，但α₁线性无关，排除(C)．故应选(D)．
[评注] 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项．如果在平时学习时，有意识地对教材上的已有定理分析其在前提条件有所变化的情况下，相应结论的可能变化，并找出适当的例子进行说明，对解答此类选择题将是十分有益的．

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考研数学二

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