设y=f(x)是第一象限内连接点A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x，y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点。若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为，求f(x)的表达式。

admin2020-03-16 53

问题设y=f(x)是第一象限内连接点A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x，y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点。若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为

，求f(x)的表达式。

选项

答案由题意得 S_OCMA=[*][1+f(x)]，S_CBM=∫_x¹f(t)dt，所以[*] 两边对x求导 [*] 即有 1+f(x)+xf’(x)一2f(x)=x²。当x≠0时，化简得[*]，即 [*] 此方程为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为 [*] =x²+1+Cx。曲线过点B(1，0)，代入上式，得C=一2。所以 f(x)=x²+1—2x=(x一1)²。

解析

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考研数学二

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设y=f(x)是第一象限内连接点A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x，y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点。若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为，求f(x)的表达式。

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