设A,B为同阶可逆矩阵,则( ).

admin2019-03-22  47

问题 设A,B为同阶可逆矩阵,则(    ).

选项 A、AB=BA
B、存在可逆矩阵P,使P-1AP=B
C、存在可逆矩阵C,使CTAC=B
D、存在可逆矩阵P和Q,使PAQ=B

答案D

解析 解一  因A,B为同阶可逆矩阵,故其秩相等,因而A与B等价,再由命题2.2.5.3(4)知,存在可逆矩阵P和Q,使PAQ=B,故仅(D)入选.
    解二  因方阵A可逆,则A与同阶单位矩阵E等价(见命题2.2.5.5(1)),则存在可逆矩阵P,使PA=E.同理,由于B可逆,故存在可逆矩阵M,使BM=E(见命题2.2.5.5(3)),故PA=E=BM,因而.PALM-1=B.令M-1=Q,则P,Q可逆,使PAQ=B,于是选项(D)正确.
    解三  A,B为同阶可逆矩阵,则由解一知,它们都等价于同阶单位矩阵.由等价的传递性和对称性知,(D)成立.但因A,B等价,其特征值可以不一样,因而未必相似,故(B)不成立.另外,两个可逆矩阵所对应的二次型的正、负惯性指数可以不同,因此它们也未必合同,故(C)也不对.因为A,B等价,即A与B等秩,这只是A,B相似的必要条件,但非充分条件.同样也只是A与B合同的必要条件,但非充分条件.因矩阵乘法不满足交换律,故(A)也不成立.
    解四  因A,B为同阶可逆矩阵,故A,B的秩相等,则A与B等价.因而A可以通过有限次初等行或列变换为B,而这些初等行或列变换对应的初等矩阵的乘积分别用P与Q表示,则P,Q可逆,且使PAQ=B.仅(D)入选.
    注:命题2.2.5.3  设A,B为m×n阶矩阵,下述条件之一为A与B等价的充要条件.(4)存在两个可逆矩阵P与Q,使B=PAQ.
        命题2.2.5.5  (1)方阵A可逆的充要条件是A与单位矩阵等价.(3)方阵A可逆的充要条件是存在可逆矩阵P,使PA-E,或存在可逆矩阵Q,使AQ-E.
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