设f(χ)在[0，＋∞)上非负连续，且f(χ)∫0χf(χ－t)dt＝2χ3，则f(χ)＝_______．

admin2018-02-23 24

问题设f(χ)在[0，＋∞)上非负连续，且f(χ)∫₀^χf(χ－t)dt＝2χ³，则f(χ)＝_______．

选项

答案2χ

解析 ∫₀^χf(χt)dt

∫_χ⁰f(u)(－du)＝∫₀^χ(u)du，
令F(χ)＝∫₀^χf(u)du，由f(χ)∫₀^χf(χ－t)dt＝2χ³，得f(χ)∫₀^χf(u)du＝2χ³，
即

＝2χ³，则F²(χ)＝χ⁴＋C₀．
因为F(0)＝0，所以C₀＝0，又由F(χ)≥0，得F(χ)＝χ²，故f(χ)＝2χ．

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