设f(x)在区间[a,b]上具有二阶导数,且 f(a)=f(b)=0,f’(a)f’(b)>0, 试证明:存在ξ∈(a,b)和η∈(a,b),使f(ξ)=0及f"(η)=0。

admin2019-03-21  24

问题 设f(x)在区间[a,b]上具有二阶导数,且
f(a)=f(b)=0,f’(a)f’(b)>0,
试证明:存在ξ∈(a,b)和η∈(a,b),使f(ξ)=0及f"(η)=0。

选项

答案首先证明存在ξ∈(a,b),使f(ξ)=0。 方法一:用零点定理。主要是要证明f(x)在(a,b)有正值点与负值点。不妨设 f’(a)>0,f’(b)>0。 由[*]=f’+(a)=f’(a)>0与极限的局部保号性,知在x=a的某右邻域,[*]>0,从而f(x)>0,因而存在x1,b>x1>a,f(x1)>0;类似地,由f’(b)>0可证存在x2,x1<x2<b,f(x2)<0。由零点定理,存在ξ∈(x1,x2)[*](a,b),使f(ξ)=0。 方法二:反证法。假设在(a,b)内f(x)≠0,则由f(x)的连续性可得f(x)>0,或f(x)<0,不妨设f(x)>0。由导数定义与极限局部保号性, f’(a)=f’+(a) [*] f’(b)=f’(b) [*] 从而f’(a)f’(b)≤0,与f’(a)f’(b)>0矛盾。 其次,证明存在η∈(a,b),f"(η)=0。 由于f(a)=f(ξ)=f(b)=0,根据罗尔定理,存在η1∈(a,ξ),η2∈(ξ,b),使f’(η1)=f’(η2)=0;又由罗尔定理, η∈(η1,η2)[*](a,b),f"(η)=0。 注:由f’(x0)>0可得:在(x0-δ,x0)上,f(x)<f(x0);在(x0,x0+δ)上,f(x)>f(x0)。由f’(x0)>0得不到f(x)在(x0-δ,x0+δ)单调增的结果。

解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/WmLRFFFM
0

最新回复(0)