已知A～，则r(A－2E)﹢r(A﹢3E)﹦______。

admin2019-01-22 8

问题已知A～

，则r(A－2E)﹢r(A﹢3E)﹦______。

选项

答案3

解析因为A～

﹦A，所以存在可逆矩阵P，使得P^－1AP﹦A，即A﹦PAP^－1。
r(A－2E)﹢r(A﹢3E)﹦r(PAP^－1－2E)﹢r(PAP^－1﹢3E)
﹦r[P(A－2E)P^－1]﹢r[P(A﹢3E)P^－1]﹦r(A－2E)﹢r(A﹢3E)
﹦

﹦1﹢2﹦3。
本题考查相似矩阵的性质及矩阵秩的计算。由于A和对角矩阵A相似，则存在可逆矩阵P，使得P^－1AP﹦A，因此r(A﹢kE)﹦r(PAP^－1﹢kE)，可将所求转化为与对角矩阵相关联的式子。

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