2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在a，b]上连续．证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得 f(ξ)∫ξb g(x)dx=g(ξ) ∫aξf(x)dx．

设f(x)，g(x)在a，b]上连续．证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得 f(ξ)∫ξb g(x)dx=g(ξ) ∫aξf(x)dx．

admin2015-07-22  25
问题 设f(x)，g(x)在a，b]上连续．证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得
   f(ξ)∫ξb g(x)dx=g(ξ) ∫aξf(x)dx．
选项
答案记G(x)=f(x)∫xbg(t)dt-g(x)∫axf(t)dt，则G(x)的原函数为F(x)=∫ax f(t)dt∫xb g(t)dt+C，其中C为任意常数，因为f(x)，g(x)在[a，b]上连续，所以F(x)： (1)在[a，b]上连续； (2)在(a，b)内可导；(3)F(A)=F(b)=C，即F(x)在[a，b]上满足罗尔定理，所以，至少存在一个ξ∈(a，6)， 使得F’(ξ)=0，即f(ξ)∫ξb g(x)dx=g(ξ)∫aξ f(x)dx．
解析
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考研数学三

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