已知齐次线性方程组=有非零解，且矩阵A=是正定矩阵．(1)求a的值；(2)求当XTX=2时，XTAX的最大值．其中X=(x1，x2，x3)T∈R3．

admin2019-05-11 55

问题已知齐次线性方程组=

有非零解，且矩阵A=

是正定矩阵．(1)求a的值；(2)求当X^TX=2时，X^TAX的最大值．其中X=(x₁，x₂，x₃)^T∈R³．

选项

答案(1)由方程组的系数行列式△=a(a+1)(a-3)=0，[*]a的取值范围为：0，-1，3，再由矩阵A正定，得a=3； (2)可求得A的最大特征值为10，设对应的单位特征向量为ξ(即Aξ=10ξ，且ξ^Tξ=1)．对二次型X^TAx，存在正交变换X=Py，使X^TAX[*]λ₁y₁²+λ₂y₂²+λ₃y₃²≤10(y₁²+y₂²+y₃²)，当X^TX=Y^TY=y₁² +y₂²+y₃²=2时，有X^TAX≤10×2=20．又X₀=[*]满足X₀^TX₀=2，且X₀^TAX₀=[*]=2ξ^T(Aξ) =2ξ^T(10ξ)=20(ξ^Tξ)=20，综上可知[*]X^TAX=20．

解析

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考研数学二

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已知齐次线性方程组=有非零解，且矩阵A=是正定矩阵．(1)求a的值；(2)求当XTX=2时，XTAX的最大值．其中X=(x1，x2，x3)T∈R3．

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