设f(x)在[－a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，f(x)／x3存在．证明：存在ξ1，ξ2∈[－a，a]，使得a5f(4)(ξ1)=60∫－aaf(x)dx，a4f(4)(ξ1)=120f(ξ2)．

admin2018-05-21 10

问题设f(x)在[－a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，

f(x)／x³存在．
证明：存在ξ₁，ξ₂∈[－a，a]，使得a⁵f⁽⁴⁾(ξ₁)=60∫_－a^af(x)dx，a⁴f⁽⁴⁾(ξ₁)=120f(ξ₂)．

选项

答案上式两边积分得∫_－a^af(x)dx=1／24∫_－a^af⁽⁴⁾(ξ)x⁴dx．因为f⁽⁴⁾(x)在[－a，a]上为连续函数，所以f⁽⁴⁾(x)在[－a，a]上取到最大值M和最小值m，于是有mx⁴≤f⁽⁴⁾(ξ)x⁴≤Mx⁴，两边在[－a，a]上积分得2m／5a⁵≤∫_－a^af⁽⁴⁾(ξ)x⁴dx≤2M／5a⁵，从而ma⁵／60≤1／24∫_－a^af⁽⁴⁾(ξ)x⁴dx≤Ma⁵／60，或ma⁵／60≤∫_－a^af(x)dx≤Ma⁵／60，于是m≤60／a⁵∫_－a^af(x)dx≤M，根据介值定理，存在ξ₁∈[－a，a]，使得f⁽⁴⁾(ξ₁)=60／a⁵∫_－a^af(x)dx，或a⁵f⁽⁴⁾(ξ₁)=60∫_－a^af(x)dx．再由积分中值定理，存在ξ₂∈[－a，a]，使得 a⁵f⁽⁴⁾(ξ₁)=60∫_－a^af(x)dx=120af(ξ₂)，即a⁴f⁽⁴⁾(ξ₁)=120f(ξ₂)．

解析

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考研数学一

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设f(x)在[－a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，f(x)／x3存在．证明：存在ξ1，ξ2∈[－a，a]，使得a5f(4)(ξ1)=60∫－aaf(x)dx，a4f(4)(ξ1)=120f(ξ2)．

考研数学一

设f(x)=｜x｜sin2x，则使导数存在的最高阶数n=()

方程xxy"+2xy’一2y=0的通解为()

求级数的和．

已知曲面z=4一x2一y2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z一1=0，则点P的坐标是()

设三维向量已知向量组α1，α2，α3与β1，β2，β3是等价的．(Ⅰ)求a，b，c．(Ⅱ)求向量组α1，α2，α3的一个极大无关组，并将β1用α1，α2，α3线性表示．

设α1，α2，α3是三维向量空间R3中的一组基，则由基α2，α1一α2，α1+α3到基α1+α2，α3，α2一α1的过渡矩阵为()

设曲线C为圆周x2+y2=R2，则(x+2y)2ds=________．

已知正负惯性指数均为1的二次型xTAx经过合同变换x=Py化为yTBy，其中矩阵B=，则a=_______．

设f(x；t)=((x-)(t-1)＞0，x≠t)，函数f(x)由下列表达式确定，求出f(x)的连续区间和间断点，并研究f(x)在间断点处的左右极限．

求曲线积分I=∫L(y2+z2)dx+(z2+x2)dy+(x2+y2)dz，其中L是球面x2+y2+z2=2bx与柱面x2+y2=2ax(b＞a＞0)的交线(z≥0)．L的方向规定为沿L的方向运动时，从z轴正向往下看，曲线L所围球面部分总在左边(如图10

患者，男，60岁，10天前行胃癌根治术，近5天来体温38℃左右，胸片正常，尿常规未见异常，腹部伤口愈合好，已拆线，上腹部B超未见积液，查体发现左小腿微肿，腓肠肌有压痛。(2011年)对该患者不宜采取的措施是

风湿性心脏病最常见的瓣膜损害部位是

A．副作用B．毒性反应C．变态反应D．后遗反应E．特异质反应吃蚕豆引起溶血性黄疸属于

财政部制定《物业管理企业财务管理规定》的时间是()。

某项目设备工器具购置费为2000万元，建筑安装工程费为1500万元，工程建设其他费为500万元，基本预备费为200万元，涨价预备费为100万元，建设期贷款利息为120万元，铺底流动资金为100万元，则该项目的静态投资为(　　)万元。

影响砖砌体抗压强度的主要因素有（）。

建设项目施工过程中发现地下古墓，立即报告当地文物行政部门。文物行政部门接到报告后，一般应在不超过()小时赶赴施工现场。

采用等额累进还款法时，对于收入增加的客户，可采取()方法，使借款人分期还款额增多，从而减少借款人的利息负担。

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设f(x)=｜x｜sin2x，则使导数存在的最高阶数n=()

方程xxy"+2xy’一2y=0的通解为()

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设α1，α2，α3是三维向量空间R3中的一组基，则由基α2，α1一α2，α1+α3到基α1+α2，α3，α2一α1的过渡矩阵为()

设曲线C为圆周x2+y2=R2，则(x+2y)2ds=________．

已知正负惯性指数均为1的二次型xTAx经过合同变换x=Py化为yTBy，其中矩阵B=，则a=_______．

设f(x；t)=((x-)(t-1)＞0，x≠t)，函数f(x)由下列表达式确定，求出f(x)的连续区间和间断点，并研究f(x)在间断点处的左右极限．

求曲线积分I=∫L(y2+z2)dx+(z2+x2)dy+(x2+y2)dz，其中L是球面x2+y2+z2=2bx与柱面x2+y2=2ax(b＞a＞0)的交线(z≥0)．L的方向规定为沿L的方向运动时，从z轴正向往下看，曲线L所围球面部分总在左边(如图10

患者，男，60岁，10天前行胃癌根治术，近5天来体温38℃左右，胸片正常，尿常规未见异常，腹部伤口愈合好，已拆线，上腹部B超未见积液，查体发现左小腿微肿，腓肠肌有压痛。(2011年)对该患者不宜采取的措施是

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A．副作用B．毒性反应C．变态反应D．后遗反应E．特异质反应吃蚕豆引起溶血性黄疸属于

财政部制定《物业管理企业财务管理规定》的时间是()。

某项目设备工器具购置费为2000万元，建筑安装工程费为1500万元，工程建设其他费为500万元，基本预备费为200万元，涨价预备费为100万元，建设期贷款利息为120万元，铺底流动资金为100万元，则该项目的静态投资为( )万元。

影响砖砌体抗压强度的主要因素有（）。

建设项目施工过程中发现地下古墓，立即报告当地文物行政部门。文物行政部门接到报告后，一般应在不超过()小时赶赴施工现场。

采用等额累进还款法时，对于收入增加的客户，可采取()方法，使借款人分期还款额增多，从而减少借款人的利息负担。

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某项目设备工器具购置费为2000万元，建筑安装工程费为1500万元，工程建设其他费为500万元，基本预备费为200万元，涨价预备费为100万元，建设期贷款利息为120万元，铺底流动资金为100万元，则该项目的静态投资为(　　)万元。