设n阶矩阵A,B等价,则下列说法中,不一定成立的是 ( )

admin2019-04-09  33

问题 设n阶矩阵A,B等价,则下列说法中,不一定成立的是    (    )

选项 A、若|A|>0,则|B|>0
B、如果A可逆,则存在可逆矩阵P,使得PB=E
C、如果A≌E,则|B|≠0
D、存在可逆矩阵P与Q,使得PAQ=B

答案A

解析 两矩阵等价的充要条件是秩相同.
当A可逆时,有r(A)=n,因此有r(B)=n,也即B是可逆的,故B-1B=E,可见(B)中命题成立.A≌E的充要条件也是r(A)=n,此时也有r(B)=n,故|B|≠0,可见(C)中命题也是成立的.
矩阵A,B等价的充要条件是存在可逆矩阵P与Q,使得PAQ=B,可知(D)中命题也是成立的.
故唯一可能不成立的是(A)中的命题.事实上,当|A|>0时,我们也只能得到r(B)=n,也即|B|≠0,不一定有|B|>0.故选(A).
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