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求f(x,y)=z+xy-x2-y2在闭区域D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤2)}上的最大值和最小值.
求f(x,y)=z+xy-x2-y2在闭区域D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤2)}上的最大值和最小值.
admin
2017-10-19
25
问题
求f(x,y)=z+xy-x
2
-y
2
在闭区域D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤2)}上的最大值和最小值.
选项
答案
这是闭区域上求最值的问题.由于函数f(x,y)=x+xy-x
2
-y
2
在闭区域D上连续,所以一定存在最大值和最小值. 首先求f(x,y)=x+xy-x
2
-y
2
在闭区域D内部的极值: 解方程组[*]得区域D内部唯一的驻点为[*].由 g(x,y)=(fˊˊ
xy
)
2
-fˊˊ
xx
fˊˊ
yy
=-3 得f(x,y)=x+xy-x
2
-y
2
在闭区域D内部的极大值[*] 再求f(x,y)在闭区域D边界上的最大值与最小值: 这是条件极值问题,边界直线方程即为约束条件. 在x轴上约束条件为y=0(0≤x≤1),于是拉格朗日函数为 F(x,y,λ)=x+xy-x
2
-y
2
+λy, 解方程组[*]得可能的极值点[*],其函数值为[*] 在下面边界的端点(0,0),(1,0)处f(0,0)=0,f(1,0)=0,所以,下面边界的最大值为[*],最小值为0. 同理可求出: 在上面边界上的最大值为-2,最小值为-4; 在左面边界上的最大值为0,最小值为-4; 在右面边界上的最大值为[*],最小值为-2. 比较以上各值,可知函数f(x,y)=x+xy-x
2
-y
2
在闭区域D上的最大值为[*],最小值为-4.
解析
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考研数学三
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