已知二次型f(χ1,χ2,χ3)=χTAχ的矩阵A(aij)满足a11+a22+a33=-6,仙=C,其中 (Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准形,并写出所用的正交变换和所得标准形; (Ⅱ)求出该二次型.

admin2016-03-16  33

问题 已知二次型f(χ1,χ2,χ3)=χTAχ的矩阵A(aij)满足a11+a22+a33=-6,仙=C,其中
    (Ⅰ)用正交变换将二次型化为标准形,并写出所用的正交变换和所得标准形;
    (Ⅱ)求出该二次型.

选项

答案(Ⅰ)记α1=(1,0,-1)T,α2=(1,2,1)T,则B=(α1,α2),C=(0,-12α2). 由题设AB=C知A(α1,α2)=(0,-12α2),即Aα1=0,Aα2=-12α,所以λ1=0,λ2=12是矩阵A的特征值,α1,α2是A的分别属于特征值λ1=0,λ2=-12的特征向量. 设λ3是第三个特征值,利用题设λ1+λ2+λ3=a11+a22+a33=-6,所以λ3=6. 设λ3=6对应的特征向量为α3=(χ1,χ2,χ3)T,由于λ3≠λ2,λ3≠λ1,所以α3与α1,α2 均正交,即[*] 解得(χ1,χ2,χ3)T=t(1,-1,1)T,取α3=(1,-1,1)T,将α1,α2,α3单位化得3个两两正交的单位向量组 [*] 记U=(η1,η2,η3),则U为正交矩阵,且UTAU=[*] 作正交变换χ=Uy,即得二次型的标准形为:-12y22+6y32. (Ⅱ)由(Ⅰ)的(*)推得: [*] 故所求的二次型为: f(χ1,χ2,χ3)=χTAχ=-6χ22-12χ1χ2-12χ2χ3

解析
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