已知函数f(x,y)满足f”xy(x,y)=2(y+1)ex,f’x(x,0)=(x+1)ex,f(0,y)=y2+2y,求f(x,y)的极值.

admin2022-07-21  30

问题 已知函数f(x,y)满足f”xy(x,y)=2(y+1)ex,f’x(x,0)=(x+1)ex,f(0,y)=y2+2y,求f(x,y)的极值.

选项

答案等式f’’xy(x,y)=2(y+1)ex两边对y积分,得 f’x(x,y)=2([*]y2+y)ex+φ(x)=(y2+2y)ex+φ(x) 再由已知条件f’x(x,0)=(x+1)ex,可得f’x(x,0)=φ(x)=(x+1)ex,即φ(x)=(x+1)ex,因此可求得 f’x(x,y)=(y2+2y)ex+ex(1+x) 上式两边关于x积分,得 f(x,y)=(y2+2y)ex+∫ex(1+x)dx=(y2+2y)ex+∫(1+x)dex =(y2+2y)ex+(1+x)ex-∫exdx=(y2+2y)ex+(1+x)ex-ex+C =(y2+2y)ex+xex+C 由f(0,y)=y2+2y+C=y2+2y,求得C=0.所以f(x,y)=(y2+2y)ex+xex.令 [*] 求得x=0,y=-1.又f’’xx=(y2+2y)ex+2ex+xex,f’’xy=2(y+1)ex,f’’yy=2ex.当x=0,y=-1时,A=f’’xx(0,-1)=1,B=f’’xy(0,-1)=0,C=f’’yy(0,-1)=2,AC-B2>0,因此f(0,-1)=-1为极小值.

解析
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