设向量β可由向量组α1,α2,…,αn线性表示,证明:表示唯一的充分必要条件是向量组α1,α2,…,αn线性无关.

admin2016-03-26  34

问题 设向量β可由向量组α1,α2,…,αn线性表示,证明:表示唯一的充分必要条件是向量组α1,α2,…,αn线性无关.

选项

答案由条件有k1α1+k2α2+…+knαn=β…①.必要性.设表示唯一,若λ1α12α2+…+λnαn=0…②,①与②两端分别相加,得 (k112+(k222+…+(knnn=β…③,由表示唯一,比较①与③,得kj=kjj(j=1,2,…,n)=>λj=0(j=1,2,…,n),=>α1,α2,…,αn线性无关.充分性:设α1,α2,…,αn线性无关,若还有s1α1+s2α2+…+snαn=β…④,①一④,得(k1一s11+(k2一s22+…+(kn一sn4=0,由α1,α2,…,αn线性无关,得kj=sj(j=1,2,…,n),即④式必为①式.故表示唯一.

解析
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