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(2004年试题,三(5))设e
(2004年试题,三(5))设e
admin
2019-03-21
44
问题
(2004年试题,三(5))设e
2,证明In
2
b—In
2
a>
.
选项
答案
由题设所给待证不等式的结构形式,可引入辅助函数[*]显然当x>e时f
’
(x)<0,即f
’
(x)严格单调递减,x∈(x,+∞),所以当e
2时[*]因此当e
2时,f(x)严格单调递增,即f(a)
2b-In
2
a>[*]
解析
本题也可应用拉格朗日中值定理来证明.设g(x)=In
2
x,在[a,b]上由拉格朗日中值定理知:存在一点ξ∈(a,b),使得g(b)一g(a)=g
’
(ξ)(b—a),即In
2
b—In
2
a=
又设
,当x>e时φ
’
(x)<0,即φ(x)严格单调递减,也即当e
2时,
综上知
,所以ln
2
b一ln
2
a=2φ(ξ)(b一a)>
即ln
2
b一ln
2
a
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