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设f(x,y)在点(0,0)处连续,且 其中a,b,c为常数. (1)讨论f(x,y)在点(0,0)处是否可微,若可微则求出df(x,y)|(0,0); (2)讨论f(x,y)在点(0,0)处是否取极值,说明理由.
设f(x,y)在点(0,0)处连续,且 其中a,b,c为常数. (1)讨论f(x,y)在点(0,0)处是否可微,若可微则求出df(x,y)|(0,0); (2)讨论f(x,y)在点(0,0)处是否取极值,说明理由.
admin
2016-09-13
37
问题
设f(x,y)在点(0,0)处连续,且
其中a,b,c为常数.
(1)讨论f(x,y)在点(0,0)处是否可微,若可微则求出df(x,y)|
(0,0)
;
(2)讨论f(x,y)在点(0,0)处是否取极值,说明理由.
选项
答案
(1)当(x,y)→(0,0)时,ln(1+x
2
+y
2
)~x
2
+y
2
, [*][f(x,y)-a-bx-cy]=0=>[*]f(x,y)=a. 由f(x,y)在点(0,0)处的连续性即得f(0,0)=[*]f(x,y)=a. 再由极限与无穷小的关系可知, [*]=1+o(1)(其中o(1)为当(x,y)→(0,0)时的无穷小量), 则f(x,y)-f(0,0)-bx-cy=x
2
+y
2
+(x
2
+y
2
)o(1)=o(ρ)(ρ=[*]→0), 即f(x,y)-f(0,0)=bx+cy+o(ρ)(ρ→0). 由可微性概念=>f(x,y)在点(0,0)处可微且df(x,y)|
(0,0)
=bdx+cdy. (2)由df(x,y)|
(0,0)
=bdx+cdy可知,[*]=c.于是当b,c不同时为零时,f(x,y)在点(0,0)处不取极值. 当b=c=0时,由于 [*] 又由极限保号性可知,[*]δ>0,当0<x
2
+y
2
<δ
2
时, [*]>0,即f(x,y)>f(0,0), 因此f(x,y)在点(0,0)处取极小值.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/VaxRFFFM
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考研数学三
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