2. 考研
  3. 设有n元实二次型 f(x1，x2，...,xn)=(x1+a1x1)2+(x1+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2， 其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问：当a1，a2，…，an。满足何种条件时，二次型f(x1，x2

设有n元实二次型 f(x1，x2，...,xn)=(x1+a1x1)2+(x1+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2， 其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问：当a1，a2，…，an。满足何种条件时，二次型f(x1，x2

admin2013-03-04  26
问题 设有n元实二次型
f(x1，x2，...,xn)=(x1+a1x1)2+(x1+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，
其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问：当a1，a2，…，an。满足何种条件时，二次型f(x1，x2，...,xn)为正定二次型．
选项
答案由已知条件知，对任意的x1，x2，...,xn，恒有f(x1，x2，...,xn)≥0，其中等号成立的充分必 要条件是 x1+a1x2=0， x2+a2x3=0， xn-1+an-1xn, xn+anx1． 根据正定的定义，只要x≠0，恒有xTAx>0，则xTAx是正定二次型．为此，只要方程仅有零解，就必有当x≠0时，x1+a1x2，x2+a2x3，…恒不全为0，从f(x1，x2，...,xn)>0，亦即f是一定二次型． 而方程组只有零解的充分必要条件是系数行列式 [*]=1+(-1)n+1a1a2…an≠0， 即当a1a2…an≠(-1)n时，二次型f(x1，x2，...,xn)为正定二次型．
解析
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考研数学三

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