求函数f(χ，y)＝χy－χ－y在由抛物线y＝4－χ2(χ≥0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值。

admin2020-04-22 18

问题求函数f(χ，y)＝χy－

χ－y在由抛物线y＝4－χ²(χ≥0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值。

选项

答案区域D如图2所示。 [*] (1)边界L₁＝y＝0(0≤χ≤2)，此时f(χ，0)＝－[*]χ，函数在此边界的最大值为f(0，0)＝0，最小值为f(2，0)＝－[*]。边界L₂：χ＝0(0≤y≤4)，则f(0，y)＝－y，函数在此边界的最大值为 f(0，0)＝0，最小值为f(0，4)＝－4。边界L₃：y＝4－χ²(χ≥0)，则 f(χ，y)＝χy－[*]χ－y＝χ(4－χ²)－[*]χ－(4－χ²)，令f′(χ)＝－3χ²＋2χ＋[*]＝0，解得χ＝－[*](舍去)，χ＝[*]，又 f〞(χ)＝－6χ＋2，f〞([*])＜0，故该函数在此边界的最大值为[*] (2)区域D内部，f(χ，y)＝χy－[*]χ－y，则 [*] 解得χ＝1，y＝[*]， f〞_χχ(χ，y)＝0，f〞_χy(χ，y)＝1，f〞_yy(χ，y)＝0，故AC－B²＜0，函数在区域D内部不存在极值。综上所述，函数在区域D上的最大值为f(0，0)＝0；最小值为f(0，4)＝－4。

解析

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考研数学一

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