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  3. 设f(x)在区间(－∞，+∞)内具有连续的一阶导数，并设f(x)=2∫0xf’(x－t)t2dt+sinx，求f(x)．

设f(x)在区间(－∞，+∞)内具有连续的一阶导数，并设f(x)=2∫0xf’(x－t)t2dt+sinx，求f(x)．

admin2022-04-05  26
问题 设f(x)在区间(－∞，+∞)内具有连续的一阶导数，并设f(x)=2∫0xf’(x－t)t2dt+sinx，求f(x)．
选项
答案f(x)=2∫0xf’(x－t)t2dt+sinx=－2∫0xt2d[f(x－t)]+sinx =－2[t2f(x－t)｜0x－2∫0xtf(x－t)dt]+sinx =－2[x2(0)－0－2∫x0(x－u)f(u)(－du)]+sinx =－2x2(0)+4x∫0xf(u)du－4∫0xuf(u)du+sinx， f’(x)=－4xf(0)+4∫0xf(u)du+4xf(x)－4xf(x)+cosx =－4xf(0)+4∫0xf(u)du+cosx， f’’(x)=－4f(0)+4f(x)－sinx． 由上述表达式可见有f(0)=0，f’(0)=1．所以由f’’(x)－4f(x)=－sinx，解得 f(x)=C1e2x+C2e－2x+[*]sinx． 由f(0)=0，f’(0)=1，得C1+C2=0，2C1－2C2+[*]=1，所以 [*]
解析
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