2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量口是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中 (1)A2 (2)P-1AP (3)AT (4)E－A α肯定是其特征向量的矩阵共有( )

设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量口是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中 (1)A2 (2)P-1AP (3)AT (4)E－A α肯定是其特征向量的矩阵共有( )

admin2016-05-09  24
问题 设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量口是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中
    (1)A2    (2)P-1AP
    (3)AT    (4)E－A
    α肯定是其特征向量的矩阵共有(    )
选项 A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
答案B
解析 由Aα＝λα，α≠0，有A2α＝A(λα)＝λAα＝λ2α，α≠0，即α必是A2属于特征值λ2的特征向量．
    又
    知α必是矩阵E－A属于特征值1－λ的特征向量．关于(2)和(3)则不一定成立．这是因为
    (P-1AP)(P-1α)＝P-1Aα＝λP-1α，
    按定义，矩阵P-1AP的特征向量是P-1α．因为P-1与α不一定共线，因此α不一定是P-1AP的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的．
    线性方程组(λE－A)χ＝0与(λE－AT)χ＝0不一定同解，所以α不一定是第二个方程组的解，即α不一定是AT的特征向量．所以应选B．
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考研数学一

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