设3阶方阵A的特征值为2,一1,0,对应的特征向量分别为α1,α2,α3,若B=A3—2A2+4E,试求B一1的特征值与特征向量.

admin2017-04-23  41

问题 设3阶方阵A的特征值为2,一1,0,对应的特征向量分别为α1,α2,α3,若B=A3—2A2+4E,试求B一1的特征值与特征向量.

选项

答案B=f(A),其中f(x)=x3—2x2+4.由Aα1=2α1,两端左乘A,得A2α1=2Aα1,将Aα1=2α1代入,得A2α1=22α1=4α1,类似可得A3α1=23α1=8α1,[*]Bα1=(A3—2A2+4E)α1=A3α1一2A2α1+4α1=23α1一2.22α1+4α1=(23—2.22+4)α1=f(2)α1=4α1,类似可得Bα2=f(一1)α22,Bα1=f(0)α3=4α3,所以,B的特征值为4,1,4,对应特征向量分别为α1,α2,α3.因为α1,α2,α3线性无关,所以矩阵P= [α1 α2 α3]可逆,且有P一1BP=[*]为对角矩阵,两端取逆矩阵,得P一1B一1P=[*],由此知B一1的特征值为[*],对应特征向量分别为α1,α2,α3

解析
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