设αi=(ai,bi,ci)T,i=1,2,3,α=(d1,d2,d3)T,则三个平面 a1x+b1y+c1z+d1=0, a2x+b2y+c2z+d2=0. a3x+b3y+c3z+d3=0, 两两相交成三条平行直线的充分必要条件是( )

admin2020-03-02  17

问题 设αi=(ai,bi,ci)T,i=1,2,3,α=(d1,d2,d3)T,则三个平面
a1x+b1y+c1z+d1=0,
a2x+b2y+c2z+d2=0.
a3x+b3y+c3z+d3=0,
两两相交成三条平行直线的充分必要条件是(    )

选项 A、R(α1,α2,α3)=1,R(α1,α2,α3,α)=2。
B、R(α1,α2,α3)=2,R(α1,α2,α3,α)=3。
C、α1,α2,α3中任意两个均线性无关,且α不能由α1,α2,α3线性表示。
D、α1,α2,α3线性相关,且α不能由α1,α2,α3线性表示。

答案C

解析 (A)中由R(α1,α2,α3)=1,知三个平面的法向量平行,从而三个平面相互平行(或重合),又由R(α1,α2,α3,α)=2,可知三个平面没有公共交点,因而这三个平面两两平行,至多有两个重合。
    当三个平面两两相交成三条平行直线时,必有R(α1,α2,α3)=2,R(α1,α2,α3,α)=3,但当
  R(α1,α2,α3)=2,R(α1,α2,α3,α)=3时,有可能其中两个平面平行,第3个平面和它们相交,所以(B)是必要不充分条件。
    而(D)(A)或(B),亦知(D)是必要不充分条件。
    α1,α2,α3中任意两个均线性无关任何两个平面都不平行,且相交成一条直线,而α不能由α1,α2,α3线性表示三个平面没有公共点。故应选(C)。
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