设f(x)在[a，b]上有连续的导数，证明。

admin2018-12-29 6

问题设f(x)在[a，b]上有连续的导数，证明

。

选项

答案可设[*]=｜f(x₀)｜，即证 (b—a)｜f(x₀)｜≤｜∫_a^bf(x)dx｜+(b—a)∫_a^b｜f′(x)｜dx，即｜∫_a^bf(x₀)dx｜—｜∫_a^bf(x)dx｜≤(b—a)∫_a^b｜f′(x)｜dx。事实上，｜∫_a^bf(x₀)dx｜—｜∫_a^bf(x)dx｜≤｜∫_a^b[f(x₀)—f(x)]dx｜ =｜∫_a^b[∫_x^x⁰f′(t)dt]dx｜≤∫_a^b[∫_a^b｜f′(t)｜dt]dx =(b—a)∫_a^b｜f′(x)｜dx，故得证。

解析

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考研数学一

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设f(x)在(a，b)二阶可导，x1，x2∈(a，b)，x1≠x2，∈(0，1)，则(I)若f”(x)＞0(∈(a，b))，有f[tx1+(1一t)x2]＜tf(x1)+(1一t)f(x2)，(4．6)(Ⅱ)若f”(x)＜0(∈(a，b))
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如果f(x)在[a，b]上连续，无零点，但有使f(x)取正值的点，则f(x)在[a，b]上的符号为____________．
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