2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1＝α2，Aα2＝α3，…，Aαn-1＝αn，Aαn＝0． (1)证明：α1，α2，…，αn线性无关； (2)求A的特征值与特征向量．

设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1＝α2，Aα2＝α3，…，Aαn-1＝αn，Aαn＝0． (1)证明：α1，α2，…，αn线性无关； (2)求A的特征值与特征向量．

admin2018-04-18  24
问题 设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1＝α2，Aα2＝α3，…，Aαn-1＝αn，Aαn＝0．
    (1)证明：α1，α2，…，αn线性无关；
    (2)求A的特征值与特征向量．
选项
答案(1)令χ1α1＋χ2α2＋…＋χnαn＝0，则 χ1Aα1＋χ2Aα2＋…＋χnAαn＝0[*]χ1α2＋χ2α3＋…＋χn-1αn＝0 χ1Aα2＋χ2Aα3＋…＋χn-1Aαn＝0[*]χ1α3＋χ2α4＋…＋χn-2αn＝0 … χ1αn＝0 因为αn≠0，所以χ1＝0，反推可得χ2＝…＝χn＝0，所以α1，α2，…，αn线性无关． (2)A(α1，α2，…，αn)一(α1，α2，…αn)[*] 令P＝(α1，α2，…，αn)， 则P-1AP＝[*]＝B， 则A与B相似，由｜λE－B｜＝0[*]λ1＝… λn＝0，即A的特征值全为零，又r(A)＝n－1，所以AX＝0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，而Aαn＝0αn(αn≠0)，所以A的全部特征向量为kαn(k≠0)．
解析
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考研数学二

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