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案例: 在“三角函数求值”的教学中,教师给出了如下的问题。 已知α、β为锐角,sinα=,sin(α+β)=,求cosβ的值。 教师让两位学生板演,他(她)们的板演过程如下: 生1:因为sinα=,α是锐角,所以cosα=,
案例: 在“三角函数求值”的教学中,教师给出了如下的问题。 已知α、β为锐角,sinα=,sin(α+β)=,求cosβ的值。 教师让两位学生板演,他(她)们的板演过程如下: 生1:因为sinα=,α是锐角,所以cosα=,
admin
2017-04-24
37
问题
案例:
在“三角函数求值”的教学中,教师给出了如下的问题。
已知α、β为锐角,sinα=
,sin(α+β)=
,求cosβ的值。
教师让两位学生板演,他(她)们的板演过程如下:
生1:因为sinα=
,α是锐角,所以cosα=
,
又因为sin(α+β)=
,0<α<β<π,所以cos(α+β)=±
,
当cos(α+β)=
时,cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
=
当cos(α+β)=-
时,cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα。
=
生2:因为sinα=
,α是锐角,所以cosα=
,
由sin(α+β)=
,即sinαcosβ+cosαsinβ=
,
设cosβ=χ,因为β位锐角,所以sinβ=
,
则
,去分母,
=3,
移项,
,两边平方,5-5χ
2
=9-12
+20χ
2
,
合并同类项,25χ
2
-12
χ+4=0,解方程得,
。
教师发现两位学生板演的内容与自己预设的内容不一致。
问题:
你如何评价这两位学生的解题过程。
选项
答案
学生一的解题思路从开始看是比较清晰的,利用两次sin
2
α+cos
2
α=1,后又结合分类讨论利用两角差的余弦公式求出cosβ的值,但是分类讨论后忘记验证两种情况是否都成立,原因是对公式cos([*]-d 琢)=sinα,cos([*]+d 琢)=-sinα认识不清,掌握不全面。应该验证得出结果为: 若cosβ=[*],则cosβ=sinα=sin([*]-β), 所以α+β=[*],与已知矛盾,所以cosβ=[*]。 所以会与老师期望得到的结果不同。 学生二利用两角和正弦公式,后化为解一元二次方程得出两个结果,后也是没有验证结果的正确性。和学生一犯了一样的错误。整体来说学生对三角函数公式掌握的比较牢固,运用的也比较熟练。只是在熟练的基础之上还不能更好地内化数学思想,即验证结果的成立与分类讨论的应用。
解析
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数学学科知识与教学能力题库教师资格分类
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数学学科知识与教学能力
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