2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，齐次线性方程组Ax＝0有两个线性无关的解，则( )

设A是n阶矩阵，齐次线性方程组Ax＝0有两个线性无关的解，则( )

admin2022-06-09  48
问题 设A是n阶矩阵，齐次线性方程组Ax＝0有两个线性无关的解，则(          )
选项 A、A*x＝0的解均是Ax＝0的解
B、Ax＝0的解均是A*x＝0的解
C、Ax＝0与A*x＝0无非零公共解
D、Ax＝0与A*x＝0恰好有一个非零公共解
答案B
解析 由Ax＝0有两个线性无关的解，知n－r(A)≥2，即r(A)≤n－2，从而A中n－1
阶子式全为0，故A*＝0，所以A*＝0有n－r(A*)＝n个基础解，又AA*＝A*A＝
｜A｜E＝0(因为A不可逆，所以｜A｜＝0)，所以由Ax＝0，有A*Ax＝0，即Ax＝0的
解均是A*x＝0的解，B正确，显然可排除A
对于Ax＝0与Bx＝0，当r(521)≤r(A)＋r(B)＜n时，x＝0有非零解，故排除C
Ax＝0与A*x＝0恰有一个非零公共解，需要条件n－r()＝1
故排除D
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考研数学二

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