设f(χ)为[－2，2]上连续的偶函数，且f(χ)＞0，F(χ)＝∫-22｜χ－t｜f(t)dt，求F(χ)在[－2，2]上的最小值点．

admin2017-09-15 50

问题设f(χ)为[－2，2]上连续的偶函数，且f(χ)＞0，F(χ)＝∫_-2²｜χ－t｜f(t)dt，求F(χ)在[－2，2]上的最小值点．

选项

答案F(χ)＝∫_-2²｜χ－t｜f(t)dt＝∫_-2^χ(χ－t)f(t)dt＋∫_χ²(χ－t)f(t)dt ＝χ∫_-2^χf(t)dt－∫_-2^χtf(t)dt－∫₂^χtf(t)dt＋χ∫₂^χf(t)dt， F′(χ)＝∫_-2^χf(t)dt＋∫₂^χf(t)dt＝∫_-2⁰f(t)dt＋∫₀^χf(t)dt＋∫₂⁰f(t)dt＋∫₀^χf(t)dt，因为∫_-2⁰f(t)dt＝∫₀²f(t)dt，所以F′(χ)＝2∫₀^χf(t)dt．因为f(χ)＞0，所以F′(χ)＝0得χ＝0，又因为F〞(χ)＝2f(χ)，F〞(0)＝2f(0)＞0，所以χ＝0为F(χ)在(－2，2)内唯一的极小值点，也为最小值点．

解析

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