设f(x)=x+x2+…+xn(n≥2). (1)证明方程f(x)=1有唯一的正根x; (2)求.

admin2016-10-13  31

问题 设f(x)=x+x2+…+xn(n≥2).
    (1)证明方程f(x)=1有唯一的正根x;
    (2)求

选项

答案(1)令φn(x)=fn(x)一1,因为φn(0)=一1<0,φn(1)=n—1>0,所以φn(x)在(0,1)[*](0,+∞)内有一个零点,即方程fn(x)=1在(0,+∞)内有一个根. 因为φ’n(x)=1+2x+…+nxn—1>0,所以φn(x)在(0,+∞)内单调增加,所以φn(x)在(0,+∞)内的零点唯一,所以方程fn(x)=1在(0,+∞)内有唯一正根,记为xn. (2)由fn(xn)一fn+1(xn+1)=0,得 (xn一xn+1)+(xn2一xn+12)+…+(xnn一xn+1n)=xn+1n+1>0,从而xn>xn+1,所以{xn}xn+1单 [*]

解析
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