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  3. (2005年试题，20)已知函数z=f(x，y)的全微分dz=2xdx一2ydy，并且f(1，1)=2，求f(x，y)在椭圆域上的最大值和最小值．

(2005年试题，20)已知函数z=f(x，y)的全微分dz=2xdx一2ydy，并且f(1，1)=2，求f(x，y)在椭圆域上的最大值和最小值．

admin2013-12-18  50
问题 (2005年试题，20)已知函数z=f(x，y)的全微分dz=2xdx一2ydy，并且f(1，1)=2，求f(x，y)在椭圆域上的最大值和最小值．
选项
答案根据题意，得(1)求f(x，y)的表达式．由已知有dz=dx2一dy2=d(x2一y2)→z=x2一y2+C又因为f(1，1)=2，所以C=2，从而z=f(x，y)=x2一y2+2(2)求f(x，y)在D内驻点及相应函数值，解[*]得(x，y)=(0，0)，即f(x，y)在D内有唯一驻点(0，0)，且f(0，0)=2(3)求f(x，y)在D的边界y2=φ(1一x2)上的最大值和最小值．将y2=φ(1一x2)(｜x｜≤1)代入z=x2一y2+2得z(x)=x2一φ(1一x2)+2=5x2一2显然，z(x)在[一1，1]上的最大值为3，最小值为一2．综上所述，z=f(x，y)在D上的最大值是max{2，3，一2}=3，最小值是min{2，3，一2}=一2．
解析 [评注]根据全微分的表达式先求出要求极值的函数，然后再求极值．
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考研数学二

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