设f(x)是可导的函数,对于任意的实数s、t,有f(s+t)=f(s)+f(t)+2st,且f’(0)=1.求函数f(x)的表达式.

admin2017-05-31  28

问题 设f(x)是可导的函数,对于任意的实数s、t,有f(s+t)=f(s)+f(t)+2st,且f’(0)=1.求函数f(x)的表达式.

选项

答案因为对任意的实数s、t,有f(s+t)=f(s)+f(t)+2st.令s=0,t=0,则f(0)= 0,f’(0)=1. 将原式变形,得[*] 令t→0,得f’(s)=f’(0)+2s=1+2s.解此微分方程,得f(s)=s+s2+c,其中c为任意常数. 再由条件f(0)=0,得c=0.于是,f(x)=x+x2

解析
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