(2003年试题，八)设函数f(x)连续且恒大于零，其中Ω(t)={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2}．证明当t>0时，．

admin2013-12-27 54

问题 (2003年试题，八)设函数f(x)连续且恒大于零，

其中Ω(t)={(x，y，z)｜x²+y²+z²≤t²}，D(t)={(x，y)｜x²+y²≤t²}．
证明当t>0时，

．

选项

答案同理可得[*]欲证明当t>0时,[*]即[*]等价于证明[*]引入辅助函数g(t)，令[*]由于[*]因此g(t)在(0，+∞)内单调递增，且g(t)在x=0处连续及g(0)=0，因而t>0时，g(t)>g(0)=0，综上可知[*]成立．

解析当积分区域的边界函数和被积函数中含有因子x²+y²+z²时，常采用球坐标计算三重积分，它与直角坐标的关系为：

在球坐标系下，体积元dv=r²sinφdθdφdr．

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考研数学一

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