求二元函数z=f(x,y)=x2y(4-x-y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值.

admin2019-02-26  28

问题 求二元函数z=f(x,y)=x2y(4-x-y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值.

选项

答案由方程组 [*] 解得x=0(0≤y≤6)及点(4,0),(2,1). 而点(4,0)及线段x=0(0≤Y≤6)在D的边界上,只有点(2,1)在D内部,可能是极值点, fxx’’=8y-6xy-2y2,fxy’’=8x-3x2-4xy,fyy’’=-2x2, 在点(2,1)处, [*] B2-AC=-32<0,且A<0,因此点(2,1)是z=f(x,y)的极大值点,极大值f(2,1)=4. 在D的边界x=0(0≤Y≤6)及y=0(0≤x≤6)上,f(x,y)=0.在边界x+y=6上,y=6-x. 代入f(x,y)中得,z=2x3-12x2(0≤x≤6). 由z’=6x2-24x=0得x=0,x=4.在边界x+y=6上对应x=0,4,6处z的值分别为: z|x=0=(2x3-12x2)|x=0=0,z|x=4=(2x3-12x2)|x=4=-64,z|x=6=(2x3—12x2)|x=6=0. 因此知z=f(x,y)在边界上的最大值为0,最小值为f(4,2)=-64. 将边界上最大值和最小值与驻点(2,1)处的值比较得,z=f(x,y)在闭区域D上的最大值为f(2,1)=4,最小值为f(4,2)=-64.

解析
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