[2012年] 已知曲线L：，其中函数f(t)具有连续导数，且f(0)=0，f’(t)＞0(0＜t＜π／2)．若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数f(t)的表达式，并求此曲线L与x轴，与y轴无边界的区域的面积．

admin2019-04-08 29

问题 [2012年] 已知曲线L：

，其中函数f(t)具有连续导数，且f(0)=0，f’(t)＞0(0＜t＜π／2)．若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数f(t)的表达式，并求此曲线L与x轴，与y轴无边界的区域的面积．

选项

答案设切点坐标(x，y)=(f(t)，cost)(0≤t＜π／2)，则切线的斜率为y’_x=(一sint)／f’(t)，切线方程为y—cost=[(一sint)／f’(t)][x-f(t)]．令y=0，代入切线方程得到切线与x轴交点的横坐标x=f(t)+[f’(t)cost]／sint，则切点与交点的距离为 [*] 从而 [*] 因f(0)=0，故C=0，所以f(t)=ln｜sect+tant｜-sint．又由面积的计算公式可得 S=∫₀^π/2y(t)dx(t)=∫₀^π/2costf’(t)dt=[*]

解析

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考研数学一

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[2012年] 已知曲线L：，其中函数f(t)具有连续导数，且f(0)=0，f’(t)＞0(0＜t＜π／2)．若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数f(t)的表达式，并求此曲线L与x轴，与y轴无边界的区域的面积．

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