n阶矩阵A和B具有相同的特征向量是A和B相似的( )

admin2019-07-12 26

问题 n阶矩阵A和B具有相同的特征向量是A和B相似的( )

选项 A、充分必要条件．
B、充分而非必要条件．
C、必要而非充分条件．
D、既非充分又非必要条件．

答案D

解析根据相似矩阵的定义，由A～B可知，存在可逆矩阵P使P^-1AP=jB：若Aα=λα，α≠0，
  有
B(P^-1α)=(P^-1AP)(P^-1α)=P^-1Aα=λ(P^-1α)，
  即α是A的特征向量，P^-1α是B的特征向量，即矩阵A与B的特征向量不同．
相反地，若矩阵A与B有相同的特征向量，且它们属于不同的特征值，即
Aα=λα，Bα=μα，λ≠μ
  因为矩阵A与B的特征值不同，所以矩阵A和B不可能相似．
所以矩阵A与B有相同的特征向量对于A～B来说是既非充分又非必要，故选D．

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考研数学三

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