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  3. 设f（x）在[a，b]上二阶可导，f（a）=f（b）=0。试证明至少存在一点ξ∈（a，b）使

设f（x）在[a，b]上二阶可导，f（a）=f（b）=0。试证明至少存在一点ξ∈（a，b）使

admin2019-01-05  57
问题 设f（x）在[a，b]上二阶可导，f（a）=f（b）=0。试证明至少存在一点ξ∈（a，b）使
选项
答案（1）若f（x）≡0，则结论显然成立； （2）设|f（x0）|=[*]|f（x）|，x0∈（a，b），即函数f（x）在x=x0处取得最大值。又因为f（x）在[a，b]上二阶可导，则有f（x0）=0。将函数f（x）在x=x0处展成带有拉格朗日型余项的二阶泰勒展开式，即 f（x）=f（x0）+f（x0）（x—x0）+[*]（x—x0）2，η=x0+θ（x—x0），0＜θ＜1。 由于f（a）=0，故将x=a代入上式可得 0= f（a）=f（x0）+f’（x0）（a— x0）+[*]（a— x0）2， 即 |f"（ξ1）|=[*] a＜ξ1＜x0。 同理，有0=f（b）=f（x0）+f’（x）（b— x0）+[*]（b— x0）2， 即 |f"（ξ2）|=[*] x0＜ξ2＜b。 [*] 当且仅当x0=[*]时，不等式中的等号成立。 故存在ξ使得 [*]
解析
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考研数学三

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