设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,且满足Aα1=2α1+α2-α3,Aα2=α1+2α2+α3, Aα3=-α1+α2+2α3. 求A的特征值,并求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.

admin2017-06-14  40

问题 设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,且满足Aα1=2α12-α3,Aα21+2α23,  Aα3=-α12+2α3
求A的特征值,并求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.

选项

答案记 [*] 得矩阵B,也即矩阵A的特征值为λ12=3,λ3=0. 对应于λ12=3,解(3E-B)x=0,得基础解系为ξ1=(1,1,0)T,ξ2=(-1,0,1)T; 对应于λ3=0,解(0E—B)x=0,得ξ3=(0,1,1)T. 令P2=[ξ1,ξ2,ξ3],则P2-1BP2 = [*] 因P2-1BP2=P2-1P1-1AP1P2=(P1P2)-1A(P1P2)= [*] 记矩阵P=P1P2= [α1,α2,α3][*] =[α12,-α13,α23] 则P即为所求矩阵,且[*]

解析
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