已知三元二次型xTAx的平方项系数均为0,设a=(1,2,-1)T且满足Aα=2α。 (Ⅰ)求该二次型表达式; (Ⅱ)求正交变换x=Qy化二次型为标准形,并写出所用坐标变换; (Ⅲ)若A+kE正定,求k的取值。

admin2020-03-05  31

问题 已知三元二次型xTAx的平方项系数均为0,设a=(1,2,-1)T且满足Aα=2α。
    (Ⅰ)求该二次型表达式;
    (Ⅱ)求正交变换x=Qy化二次型为标准形,并写出所用坐标变换;
    (Ⅲ)若A+kE正定,求k的取值。

选项

答案(Ⅰ)根据已知条件,有 [*] 即得方程组 [*] 解得a12=2,a13=2,a23=-2。 所以 f(x)=xTAx=4x1x2+4x1x3-4x2x3。 (Ⅱ)由|λE-A|=[*]=(λ-2)2(λ+4),得矩阵A的特征值为2,2,-4。 由(2E-A)X=0及 [*] 得λ=2的特征向量α1=(1,1,0)T,α2=(1,0,1)T; 由(-4E-A)x=0及[*],得λ=-4的特征向量α3=(-1,1,1)T。 将α1,α2正交化。令β11,则 β22-([α2,β1]/[β1,β1])β1=[*] 再对β1,β2,α3单位化,有 [*] 那么令 [*] xTAx=yTΛy=2y12+2y22-4y32。 (Ⅲ)因为由(Ⅱ)中结论可知,A+kE的特征值为k+2,k+2,k-4,所以当k>4时,矩阵A+kE正定。

解析
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