2. 考研
  3. 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足 Aα1=α1+2α2+2α3，Aα2=2α1+α2+2α3，Aα3=2α1+2α2+α3． (1)求A的特征值． (2)判断A是否相似于对角矩阵?

设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足 Aα1=α1+2α2+2α3，Aα2=2α1+α2+2α3，Aα3=2α1+2α2+α3． (1)求A的特征值． (2)判断A是否相似于对角矩阵?

admin2017-08-07  29
问题 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足
    Aα1=α1+2α2+2α3，Aα2=2α1+α2+2α3，Aα3=2α1+2α2+α3．
(1)求A的特征值．
(2)判断A是否相似于对角矩阵?
选项
答案(1)用矩阵分解： A(α1，α2，α3) =(α1+2α2+2α3，2α1+α2+2α3，2α1+2α2+α3)=(α1，α2，α3)B，这里 [*] 从α1，α2，α3线性无关的条件知道，(α1，α2，α3)是可逆矩阵．于是A相似于B． [*] [*]的秩为1，其特征值为0，0，6． 得B的特征值为一1，一1，5．则A的特征值也为一1，一1，5． (2)B是实对称矩阵，一定相似于对角矩阵，由相似的传递性，A也相似于对角矩阵．
解析
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考研数学一

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