已知3阶矩阵A的第1行是(a,b,c),矩阵B=(k为常数),且AB=O,求线性方程组Aχ=0的通解.

admin2017-06-26  40

问题 已知3阶矩阵A的第1行是(a,b,c),矩阵B=(k为常数),且AB=O,求线性方程组Aχ=0的通解.

选项

答案由于AB=O,知B的每一列都是方程组Aχ=0的解,因此Aχ=0至少有r(B)个线性无关解,所以Aχ=0的基础解系至少含r(B)个向量,即3-r(A)≥r(B),或r(A)≤3-r(B).又由a,b,c不全为零,可知r(A)≥1. 当k≠9时,r(B)=2,有1≤r(A)≤1,于是r(A)=1; 当k=0时,r(B)=1,有1≤r(A)≤2,于是r(A)=1或r(A)=2. 当k≠9时,由AB=O可得 [*] 由于η1=(1,2,3)T,η2=(3,6,k)T线性无关,故η1,η2为Aχ=0的一个基础解系,于是Aχ=0的通解为 χ=c1η1+c2η2,其中c1,c2为任意常数 当k=9时,分别就r(A)=2和r(A)=1讨论如下: 如果r(A)=2,则Aχ=0的基础解系由一个向量构成. 又因为[*]=0,所以Aχ=0的通解为 χ=c1(1,2,3)T,其中c1为任意常数. 如果r(A)=1,则Aχ=0的基础解系由两个向量构成.又因为A的第一行为(a,b,c)且a,b,c不全为零, 所以Aχ=0等价于aχ1+bχ2+cχ3=0.不妨设a≠0,则η1=(-b,a,0)T,η2=(-c,0,a)T是Aχ=0的两个线性无关的解,从而η1,η2可作为Aχ=0的基础解系,故Aχ=0的通解为 χ=c1η1+c2η2,其中c1,c2为任意常数.

解析
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