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(1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB的对角线元素就是A和曰对应对角线元素的乘积． (2)证明上三角矩阵A的方幂Ak与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且Ak的对角线元素为a11k， a22k，…，annk；f(A)的对角
(1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB的对角线元素就是A和曰对应对角线元素的乘积． (2)证明上三角矩阵A的方幂Ak与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且Ak的对角线元素为a11k， a22k，…，annk；f(A)的对角
admin
2018-11-20
55
问题
(1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB的对角线元素就是A和曰对应对角线元素的乘积．
(2)证明上三角矩阵A的方幂A
k
与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且A
k
的对角线元素为a
11
k
，
a
22
k
，…，a
nn
k
；f(A)的对角线元素为f(a
11
)，f(a
22
)，…，f(a
nn
)．
(a
11
,a
22
，…，a
nn
是A的对角线元素．)
选项
答案
(1)设A和B都是n阶上三角矩阵，C=AB，要说明C的对角线下的元素都为0，即i＞j时，c
ij
=0．c
ij
=A的第i个行向量和B的第j个列向量对应分量乘积之和．由于A和B都是n阶上三角矩阵，A的第i个行向量的前面i一1个分量都是0，B的第j个列向量的后面n—j个分量都是0，而i一1+n—j=n+(i—j一1)≥n，因此c
ij
=0． c
ii
=a
i1
b
1i
+…+a
ii-1
b
i-1i
+a
ii
b
ii
+a
ii+1
b
i+1i
+…+a
in
b
ni
=a
ii
b
ii
(a
i1
=…=a
ii-1
=0，b
i+1i
=…=b
ni
=0)． (2)设A是上三角矩阵．由(1)，直接可得A
k
是上三角矩阵，并且对角线元素为a
11
k
，a
22
k
，…，a
nn
k
． 设f(A)=a
m
A
m
+a
m-1
A
m-1
+…+a
1
A+a
0
E．a
i
A
i
都是上三角矩阵，作为它们的和，f(A)也是上三角矩阵．f(A)的对角线元素作为它们的对角线元素的和，是f(a
11
)，f(a
22
)，…，f(a
nn
)．
解析
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考研数学三
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