2. 考研
  3. 设函数f0(x)在(-∞，+∞)内连续，fn(x)=∫0xfn-1(t)dt(n=1，2，…). (1)证明：fn(x)=1/[(n-1)!]∫0xf0(t)(x-t)n-1dt(n=1，2，…)； (2)证明：fn(x)绝对收敛.

设函数f0(x)在(-∞，+∞)内连续，fn(x)=∫0xfn-1(t)dt(n=1，2，…). (1)证明：fn(x)=1/[(n-1)!]∫0xf0(t)(x-t)n-1dt(n=1，2，…)； (2)证明：fn(x)绝对收敛.

admin2022-08-19  32
问题 设函数f0(x)在(-∞，+∞)内连续，fn(x)=∫0xfn-1(t)dt(n=1，2，…).
(1)证明：fn(x)=1/[(n-1)!]∫0xf0(t)(x-t)n-1dt(n=1，2，…)；
(2)证明：fn(x)绝对收敛.
选项
答案(1)n=1时，f1(x)=∫0xf0(t)dt，等式成立； 设n=k时，fk(x)=1/[(k-1)!]∫0xf0(t)(x-t)k-1dt， 103 则n=k+1时，fk+1(x)=∫0xfk(t)dt=∫0xdt∫0t[1/(k-1)!]f0(u)(t-u)k-1du =[1/(k-1)!]∫0xdu∫uxf0(u)(t-u)k-1dt =(1/k!)∫0xf0(u)(t-u)kdu， 由归纳法得fn(x)=[1/(n-1)!]∫0xf0(t)(x-t)n-1dt(n=1，2，…). (2)对任意的x∈(-∞，+∞)，f0(t)在[0，x]或[x，0]上连续，于是存在M＞0(M与 x有关)，使得|f0(t)|≤M(t∈[0，x]或t∈[x，0])，于是 [*]
解析
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考研数学三

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