设三阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=（1，1，0）T，α2=（2，1，1）T，α3=（一1，2，一3）T都是A属于λ=6的特征向量，求矩阵A。

admin2017-12-29 38

问题设三阶实对称矩阵A的秩为2，λ₁=λ₂=6是A的二重特征值，若α₁=（1，1，0）^T，α₂=（2，1，1）^T，α₃=（一1，2，一3）^T都是A属于λ=6的特征向量，求矩阵A。

选项

答案由r（A）=2知，|A|=0，所以λ=0是A的另一特征值。因为λ₁=λ₂=6是实对称矩阵的二重特征值，故A属于λ=6的线性无关的特征向量有两个，因此α₁，α₂，α₃必线性相关，显然α₁，α₂线性无关。设矩阵A属于λ=0的特征向量α=（x₁，x₂，x₃）^T，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有 [*] 解得此方程组的基础解系α=（一1，1，1）^T。根据A（α₁，α₂，α）=（6α₁，6α₂，0）得 A=（6α₁，6α₂，0）（α₁，α₂，α₃）^—1 [*]

解析

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考研数学三

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设三阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=（1，1，0）T，α2=（2，1，1）T，α3=（一1，2，一3）T都是A属于λ=6的特征向量，求矩阵A。

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