2. 考研
  3. (17年)设函数f(x)在区间[0，1]上具有2阶导数，且f(1)＞0，证明： (I)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根； (Ⅱ)方程f(x)f"(x)+(f’(x))2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同实根．

(17年)设函数f(x)在区间[0，1]上具有2阶导数，且f(1)＞0，证明： (I)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根； (Ⅱ)方程f(x)f"(x)+(f’(x))2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同实根．

admin2019-03-21  48
问题 (17年)设函数f(x)在区间[0，1]上具有2阶导数，且f(1)＞0，证明：
(I)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根；
(Ⅱ)方程f(x)f"(x)+(f’(x))2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同实根．
选项
答案(I)由题设知f(x)连续且[*]存在，所以f(0)=0． 由[*]与极限的保号性可知，存在a∈(0，1)使得[*]即f(a)＜0． 又f(1)＞0，所以存在b∈(a，1)[*](0，1)，使得f(b)=0，即方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根． (Ⅱ)由(I)知f(0)=f(b)=0，根据罗尔定理，存在c∈(0，b)[*](0，1)，使得 f’(c)=0． 令F(x)=f(x)f’(x)，由题设知F(x)在区间[0，b]上可导，且 F(0)=0，F(c)=0，F(b)=0． 根据罗尔定理，存在ξ∈(0，c)，η∈(c，b)，使得F’(ξ)=F’(η)=0，即ξ，η是方程f(x)f"(x)+(f’(x))2=0在区间(0，1)内的两个不同实根．
解析
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考研数学二

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