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  3. 设向量组α1，α4，…，αs(s≥2)线性无关，且β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．

设向量组α1，α4，…，αs(s≥2)线性无关，且β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．

admin2016-07-22  35
问题 设向量组α1，α4，…，αs(s≥2)线性无关，且β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．
选项
答案方法一 设x1β1+x2β2+…+xsβs=0，即 (x1+xs)α1+(x1+x2)α2+…+(xs-1+xs)αs=0． 因为α1，α2，…，αs线性无关，则[*]其系数行列式 [*] (1)当s为奇数时，｜A｜=2≠0，方程组只有零解，则向量组β1，β2，…，βs线性无关； (2)当s为偶数时，｜A｜=0，方程组有非零解，则向量组β1，β2，…，βs线性相关 方法二 显然 [β1，β2，…，βs]=[α1，α2，…，αs][*] =[α1，α2，…，αs]Ks×s， 因为α1，α2，…，αs线性无关，则 r(α1，α2，…，αs)≤min{r(α1，α2，…，αs)，r(K))=r(K) (1)r(K)=s[*]｜K｜=1+(-1)s+1≠0[*]s为奇数时，r(β1，β2，…，βs)=s，则向量组β1，β2，…，βs线性无关； (2)r(K)＜s[*]｜K｜=1+(-1)s+1=0[*]s为偶数时，r(β1，β2，…，βs)＜s，则向量组β1，β2，…，βs线性相关．
解析
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考研数学一

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