已知β1,β2是非齐次线性方程组Aχ=b的两个不同的解,α1,α2是对应的齐次线性方程Aχ=0的基础解系,k1,k2为任意常数,则方程组Aχ=b的通解是( )

admin2019-05-12  24

问题 已知β1,β2是非齐次线性方程组Aχ=b的两个不同的解,α1,α2是对应的齐次线性方程Aχ=0的基础解系,k1,k2为任意常数,则方程组Aχ=b的通解是(    )

选项 A、k1α1+k21+α2)+
B、k1α1+k21-α2)+
C、k1α1+k21+β2)+
D、k1α1+k21-β2)+

答案B

解析 对于A、C选项,因为

    所以选项A、C中不含有非齐次线性方程组Aχ=b的特解,故均不正确.
    对于选项D,虽然(β1-β2)是齐次线性方程组Aχ=0的解,但它与α1不一定线性无关,故D也不正确,所以应选B.
    事实上,对于选项B,由于α11-α2)与α1,α2等价(显然它们能够互相线性表示),故α1,(α1-α2)也是齐次线性方程组的一组基础解系,而由

    可是齐次线性方程组Aχ=b的_个特解,由非齐次线性方程组的通解结构定理知,B选项正确.
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