(1)设X1,X2,…,Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本,试求λ的最大似然估计量和矩估计量. (2)设X1,X2,…,Xn是取自总体X的简单随机样本,X的概率密度为 f(x)=, 一∞<x<+∞,λ>0. 试求λ的矩估计.

admin2016-01-25  29

问题 (1)设X1,X2,…,Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本,试求λ的最大似然估计量和矩估计量.
(2)设X1,X2,…,Xn是取自总体X的简单随机样本,X的概率密度为
  f(x)=,  一∞<x<+∞,λ>0.
试求λ的矩估计.

选项

答案(1)泊松分布的分布律为P(X=x)=[*],x=0,1,2,…,其最大似然函数为 [*] 故 λ=[*],λ的最大似然估计量为[*]. 因E(X)=[*] =λ.1=λ, 令E(X)=λ=[*]为λ的矩估计量. (2)待求参数虽然只有一个,但由于X的一阶矩等于零,即 [*]xf(x)dx=0, 需考虑其二阶矩[*]x2f(x)dx作矩估计.因 [*] =λ2Γ(3)=2λ2, 而样本二阶矩为[*],故λ的矩估计量为 [*] (因λ>0).

解析 未知参数的矩估计量可用样本原点矩代替同阶的总体原点矩即可.为此,应为求λ的最大似然估计,先写出最大似然函数,再对参数求出其导数.令其等于0,解出用样本表示参数的式子.
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