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设总体X的概率密度为f(x)=其中θ>0,θ,μ为参数,X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本. (Ⅰ)如果参数μ已知,求未知参数θ的最大似然估计; (Ⅱ)如果参数θ已知,求未知参数μ的最大似然估计,并求; (Ⅲ)如果参数θ和μ均未知,求θ和μ
设总体X的概率密度为f(x)=其中θ>0,θ,μ为参数,X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本. (Ⅰ)如果参数μ已知,求未知参数θ的最大似然估计; (Ⅱ)如果参数θ已知,求未知参数μ的最大似然估计,并求; (Ⅲ)如果参数θ和μ均未知,求θ和μ
admin
2020-10-30
27
问题
设总体X的概率密度为f(x)=
其中θ>0,θ,μ为参数,X
1
,X
2
,…,X
n
为来自总体X的样本.
(Ⅰ)如果参数μ已知,求未知参数θ的最大似然估计
;
(Ⅱ)如果参数θ已知,求未知参数μ的最大似然估计
,并求
;
(Ⅲ)如果参数θ和μ均未知,求θ和μ的矩估计量与最大似然估计量.
选项
答案
(Ⅰ)作似然函数L(θ)=[*] 取对数lnL(θ)=[*] 求驻点,令[*] 故θ的最大似然估计量为[*] (Ⅱ)作似然函数L(μ) [*] 取对数lnL(μ)=[*] 因为[*] 即L(μ)为μ的单调增函数,故当μ=min{x
1
,x
2
,…,x
n
}时,L(μ)取得最大值,所以μ的最大似然估计量为[*]=min{X
1
,X
2
,…,X
n
}. ①总体X的分布函数为[*] ②令Y=min{X
1
,X
2
,…,X
n
}. F
Y
(y)[*]P{Y≤y}[*]P{min(X
1
,X
2
,…,X
n
)≤y}[*]1-P{min(X
1
,X
2
,…,X
n
)>y} =1-P{X
1
>y}P{X
2
>y}…P{X
n
>y} =1-[1-P{X
1
≤y}][1-P(X
2
≤y}]…[1-P{X
n
≤y}] [*] 故[*]不是μ的无偏估计. (Ⅲ)先求矩估计量 样矩:[*] 总矩:[*] 令[*] 解得θ和μ的矩估计量分别为[*] 再求最大似然估计量. 由[*]知[*]=min{X
1
,X
2
,…,X
n
}为μ的最大似然估计量.(由(Ⅱ)) 令[*] 得[*] 故θ的最大似然估计量为[*]-min{X
1
,X
2
,…,X
n
}
解析
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考研数学三
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